Производная функции.
1. Определение производной, её геометрический смысл.
2.Производная сложной функции.
3. Производная обратной функции.
4. Производные высших порядков.
5. Параметрически заданные функции и неявно.
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Введение.
Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.
1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.
2) Вопрос о нахождении (с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.
Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.
Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.
Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.
Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или иного государства является одной из основных характеристик его общественного развития.
Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.
Определение производной, её геометрический смысл.
Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.
1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит
приращение :
2. Составим отношение 
.
3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел
существует, получим величину , которую называют
производной функции по аргументу х .
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.
Значение производной очевидно зависит от точки х , в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х . Обозначается .
По определению имеем
или (3)
Пример. Найти производную функции .
1. ; 
Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).
- Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
- Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).
В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .
Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .
Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :
Примеры.
1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .
Решение.
Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.
Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .
Решение.
Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.
Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .
3. Вывести формулу производной функции y=x n .
Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.
При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .
Вот эти формулы.
Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Икс штрих равен единице.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.
5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.
6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.
7. Производная синуса равна косинусу.
8. Производная косинуса равна минус синусу.
9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.
10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.
Учим правила дифференцирования .
1.
Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.
2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».
4. Частный случай формулы 3.
Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»
Мартусевич Татьяны Олеговны
Дата: 29.12.2014.
Тема: Геометрический смысл производной.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Образовательные задачи:
Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;
обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;
создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие задачи:
способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные задачи:
содействовать воспитанию интереса к математике;
воспитание активности, мобильности, умения общаться.
Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.
Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .
Этап урока
Время
Деятельность преподавателя
Деятельность учащегося
1. Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
Тема: Геометрический смысл производной.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Подготовка студентов к работе на занятии.
Подготовка к работе на занятии.
Осознание темы и цели урока.
Конспектирование.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.
Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.
Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.
Нахождение производной данных функций по формулам.
Повторение свойств линейной функции.
Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя
3. Работа с новым материалом: объяснение.
Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента
Объяснение геометрического смысла производной.
Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.
Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.
Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.
Создание конспекта.
Формулирование геометрического смысла производной.
Рассмотрение трех случаев.
Конспектирование, выполнение рисунков.
4. Работа с новым материалом.
Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
В каких точках производная положительна?
Отрицательна?
Равна нулю?
Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.
Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.
5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
Сообщение условия задачи.
Запись условия задачи.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Решите задачу самостоятельно:
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
7. Работа с новым материалом: объяснение.
Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.
Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.
Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.
Конспектирование, создание рисунка.
8. Работа с новым материалом: объяснение.
В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
Конспектирование.
Сообщение условия задачи.
Обучение применению полученных знаний.
Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.
Запись условия задачи.
Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.
Запись решения задачи и ответа.
9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.
Проверка и объяснение решения с использованием презентации.
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
10. Домашнее задание.
§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.
№ 860 (2,4,6,8),
Сообщение домашнего задания с комментариями.
Запись домашнего задания.
11. Подведение итогов.
Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.
Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.
Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.
Корректировка и уточнение итогов урока.
Перечисление итогов урока.
12. Рефлексия.
1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.
а) усвоил(а) полностью, могу применить;
б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;
в) не усвоил(а).
3. Мультимедийная презентация на уроке:
а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;
в) мешала усвоению материала.
Проведение рефлексии.
Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке
*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?
Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке x о , обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:
То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:
А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:
Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.
Проиллюстрируем, два случая:
1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).
2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох ).
То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).
Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох ), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!
Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).
Что ещё потребуется - это знание для тангенса тупого угла.
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).
Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катеты определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, ох . Значит
Ответ: 1,5
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).
Катеты также определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох . Значит
Ответ: 1,25
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 .
Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.
Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:
Значит
*Длины катетов считаем по количеству клеток.
Ответ: -1,75
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 . х 0
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Загрузка...