В данной главе описывается назначение средних величин, рассматриваются их основные виды и формы, методика расчета. При изучении представленного материала необходимо усвоить требования к построению средних величин, так как их соблюдение позволяет использовать эти величины как типические характеристики значений признака по совокупности однородных единиц.

Формы и виды средних величин

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику уровня значений признака, которая получена в расчете на единицу совокупности. В отличие от относительной величины, которая является мерой соотношения показателей, средняя величина служит мерой признака на единицу совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть существенные и случайные. Например, ставки процента по банковским ссудам определяются исходными для всех кредитных организаций факторами (уровень резервных требований и базовая ставка процента gо ссудам, предоставляемым коммерческим банкам центральным банком, и др.), а также особенностями каждой конкретной сделки в зависимости от риска, присущего данной ссуде, ее размера и срока погашения, издержек по оформлению ссуды и контролю за ее погашением и др.

В средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние общих условий, наиболее характерных для данной совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Средняя величина будет отражать типичный уровень признака в данной совокупности единиц, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В связи с этим метод средних используют в сочетании с методом группировок.

Средние величины, характеризующие совокупность в целом, называют общими, а средние, отражающие особенность группы или подгруппы, – групповыми.

Сочетание общих и групповых средних позволяет проводить сравнения во времени и пространстве, существенно расширяет границы статистического анализа. Например, при подведении итогов переписи 2002 г. было установлено, что для России, как и для большинства европейских стран, характерно старение населения. По сравнению с переписью 1989 г. средний возраст жителей страны увеличился на три года и составил 37,7 года, мужчин – 35,2 года, женщин – 40,0 лет (по данным 1989 г. эти показатели соответственно были 34,7, 31,9 и 37,2 лет). По данным Росстата, ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 2011 г. мужчин – 63 года, женщин – 75,6 лет.

Каждая средняя отражает особенность изучаемой совокупности по какому-то одному признаку. Для принятия практических решений, как правило, необходима характеристика совокупности по нескольким признакам. В этом случае используют систему средних величин.

Например, для достижения должного уровня доходности операций при приемлемом уровне риска банковской деятельности средние ставки процента по выданным кредитам устанавливают с учетом средних ставок процента по депозитам и другим финансовым инструментам.

Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных. Средние величины делятся на две основные категории:

• 1) степенные средние;
• 2) структурные средние.

Формула средней определяется значением степени применяемой средней. С увеличением показателя степени k возрастает соответственно средняя величина.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обоб­щенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в кон­кретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает ти­пичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положи­тельных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака от­дельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множест­ва факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней величины в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учи­тываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней величине отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

В статистике используются различные виды средних величин. Наиболее часто применяются средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая. Выбор той или иной средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены либо когда каждый вариант совокупности встречается только один раз (при этом средняя называется простой или невзвешенной ), либо когда варианты повторяются различное число раз (при этом число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом , а средняя, вычисленная с учетом весов, – средней взвешенной ).

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле

Средняя арифметическая взвешенная

где х i – вариант, а f i – частота или статистический вес.

Пример. Обследование пяти кабинетов первого этажа офиса показало, что в них работает 1, 2, 3, 4, 5 человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую:

т.е. в среднем на один кабинет первого этажа приходится 3 человека.

Результаты обследования всех кабинетов этого же здания приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2

Результаты обследования офисного здания

Вычислим среднее число сотрудников, работающих в данном здании:

Т.е. в среднем на 2 кабинета в этом здании приходится 7 сотрудников.

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.

Формула вычисления средней гармонической простой следующая:

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

где x i – вариант, n – количество вариантов, V i – веса для обратных значений x i .

Пример. Средняя гармоническая невзвешенная (эта форма средней, используемая значи­тельно реже, чем взвешенная). Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников одинакова?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5 + 15) : 2 = 10, мин. Проверим обоснованность тако­го подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заме­нить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (на­пример, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя ра­ботниками заказов:

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то об­щее количество обработанных за час заказов не изменится:

Заказов.

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Пример. Средняя гармоническая взвешенная . В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в таблице 8.3.

Таблица 8.3

Данные о ходе торгов на валютной бирже

Для того, чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

Т.е. средний курс за один доллар составил 25,48 руб.

Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая, т.е. руб. за один доллар, то по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 739,5 млн руб., что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Если используем частоты m , получим формулу средней геометрической взвешенной

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней, т.е. – правило мажорантности средних А.Я. Боярского.

Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана .

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту. Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

где х 0 – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f Мо – частота модального интервала;

f Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f Мо+1 – частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле

где х о – нижняя граница медианного интервала;

N Ме – порядковый номер медианы (Σf/2);

S Me -1 – накопленная частота до медианного интервала;

f Me – частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4

Распределение семей города по размеру
среднедушевого дохода в январе 2008 г.

Найдем моду по формуле (8.16):

Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

сначала находится N медианы: N Ме = Σf i /2 = 5000. По накопленным частотам определим, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), ее значение определим по формуле:

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М 0 <М е <Х – имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<М е <М 0 следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Контрольные задания

1. Какова роль относительных величин в статистике?

2. Какие существуют формы выражения относительных величин?

3. Каково значение средних величин в статистике?

4. Какие виды средних величин применяются в статистике?

5. В каких случаях применяются средняя гармоническая, квадратическая, геометрическая?

6. По данным таблицы 8.5 определить моду и медиану.

Таблица 8.5

Распределение торговых предприятий города
по уровню розничных цен на товар А

7. По данным таблицы 8.6 определить средний возраст персонала.

Таблица 8.6

Распределение сотрудников предприятия по возрасту

8. По таблице 8.7 определить средний стаж работы: а) рабочих; б) служащих.

Таблица 8.7

Распределение работников по стажу работы

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В ведение

В данной курсовой работе рассмотрена тема изучения метода средних величин. В них отображаются основные показатели, которые характеризуют общественные явления, к примеру, товарооборот, заработанная плата, товарные запасы, цены, рождаемость. Характеризуются средними величинами и качественные показатели коммерческой деятельности: прибыль, издержки обращения, рентабельность и т.п. Верное понимания сути средней посредством единичного и случайного позволяет выявить необходимое и общее, а также извлечь тенденцию закономерностей социального и экономического развития. Метод средних величин свое применение находит при статистических исследованиях в любой сфере.

В теоретическом разделе изучим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая, а также структурные средние величины - в экономическом анализе и условия их использования.

В практической части представлены задания на нахождение средних величин, на примере данных задач будут показаны разные способы расчета средних величин, а также их использование в экономическом анализе.

1 . Средние величины в экономическом анализе

Как известно статистика исследует массовые социально-экономические явления. Любое из данных явлений может иметь разное количественное выражение одного какого-либо признака. К примеру, зарплата одной какой-либо профессии сотрудников или цены на рынке на какую-либо продукцию и т.д. Средние величины отражают качественные показатели коммерческой деятельности: прибыль, издержки обращения, рентабельность и т.п.

С целью изучения определенной совокупности по варьирующим (изменяющимся количественно) признакам использует статистика средние величины.

Средней величиной называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень явления в определенных условиях места и времени, который отражает величину варьирующего признака в ходе расчета на 1 ед. качественно однородной совокупности. Число показателей, вычисленных в виде средних величин, и используемых на практике достаточно велико.

Основное свойство средней величины состоит в том, что средняя величина представляет значение конкретного признака во всей совокупности 1-им числом, независимо от количественных различий его у отдельных единиц совокупности, а также выражает то общее, что всем единицам анализируемой совокупности присуще. Итак, через характеристику единицы совокупности средняя величина характеризует всю совокупность в общем.

Они связаны с законом больших чисел. Сущность данной связи заключается в том, что случайные отклонения индивидуальных величин при осреднении по закону больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется главная тенденция развития.

Средние величины могут сравнивать показатели, которые относятся к совокупностям с разной численностью единиц. Основным условием научного использования средних величин в оценке общественных явлений является однородная совокупность, для которой рассчитывается средняя величина. Одинаковая по технике вычисления и форме средняя величина при условии неоднородной совокупности является фиктивной, а для однородной совокупности она соответствует действительности.

Определяется качественная однородность совокупности за счет всестороннего теоретического анализа сущности какого-либо явления. К примеру, в расчете средней урожайности необходимо, чтобы исходные данные относились к однородной культуре (то есть средняя урожайность пшеницы) или группе культур (к примеру, средняя урожайность зерновых). Невозможно рассчитывать среднюю величину для разнородных культур.

Итак, главными свойствами средней являются:

Наличие устойчивости - это позволяет извлекать закономерности развития явлений.

Помогает охарактеризовать развитие уровня явления относительно времени.

Помогает извлекать и охарактеризовать связь между двумя и несколькими явлениями.

Фактор, по которому проводится осреднение, называют усредняемым признаком. А его величина у каждой единицы совокупности называют ее индивидуальным значением.

То значение признака, которое встречается у отдельных единиц или групп единиц и не повторяется, называется его вариантом.

Средняя может принимать значения такие, которые не присущи ни одному из составляющей совокупности. Также на практике очень часто средняя величина выражается для дискретного признака как для непрерывного. К примеру, среднее число родившихся на каждую 1000 населения в регионе: имеются в регионе населенные пункты, где в каждом складывается свой уровень рождаемости. Для расчета средней рождаемости по региону надо численность родившихся всех младенцев соотнести с численностью населения, а полученный результат умножить на 1000.

Итог расчета средней величины по этому показателю может выражаться и в дробях, даже несмотря на то, что число родившихся - это целое число.

Средняя является равнодействующей всех факторов, которые оказывают влияние на исследуемое явление. Другими словами, при их расчете взаимопогашаются влияние случайных факторов, а далее возможно определение закономерности, которая присуще изучаемому явлению.

Значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, существование средних величин является категорией объективной действительности.

Таким образом, к расчету средней предъявляются следующие основные требования:

Их нужно рассчитывать таким образом, чтобы средняя величина погашала то, что мешает извлечению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие.

Она может быть рассчитана только для однородной совокупности. Средняя величина, которая была рассчитана для неоднородной совокупности, называется огульной.

Одинаковые по технике вычисления и форме средние величины в одних случаях могут быть огульными, а в иных - общими в зависимости от того, с какой целью их интерпретируют.

Не стоит забывать, что средняя величина дает всегда обобщенную характеристику только по одному признаку. Каждая же единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон.

Расчет средних величин производится по правилам, разработанные математической статистикой.

Приемы в математике, которые используются в разных разделах статистики, связаны непосредственно с расчетом средних величин.

В общественных явлениях средние величины относительно постоянны, другими словами, в течение обозначенного промежутка времени однотипные явления отражаются примерно одинаковыми средними.

Важным условием расчета средних величин для изучаемой совокупности является качественная ее однородность. Допустим, отдельные составляющие совокупности, в ходе подверженности влиянию какого-либо случайного фактора, имеют очень большие (малые) размеры изучаемого признака, которые существенно отличаются от остальных. Данные элементы повлияют на размер средней величины для этой совокупности, так что средняя величина не будет выражать наиболее характерную величину признака для совокупности.

Средняя величина является обобщающей статистической характеристикой, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, обладающей членами исследуемой совокупности. Однако одной средней нельзя охарактеризовать все черты распределения статистики. Существуют совпадения средних арифметических величин при разном распределении.

Показатели вариации используются с целью характеристики и упорядочения совокупностей статистики. Вариацией называют различие в величинах определенного признака у разных единиц совокупности в один и тот же период времени. Вариация помогает понять сущность рассматриваемого явления. Относятся к показателям вариации размах вариации, дисперсия, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, а также коэффициент вариации.

Если изучаемое явление не является однородным, тогда его разбивают на группы, которые содержат однородные элементы. Для данного явления рассчитываются в первую очередь средние по группам, они выражают более типичную величину явления в каждой группе. Далее для всех элементов рассчитывается общая средняя величина, которая характеризует явление в целом. Рассчитывается она как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, которые включены в каждую группу.

Однако на практике безусловное исполнение этого условия повлекло за собой бы ограничение возможностей статистического анализа. Так что средние величины часто рассчитываются по неоднородным явлениям.

Еще одним основным условием использования средних величин в статистическом анализе является достаточное число единиц в совокупности, по которой производят расчет средних значений признака. Достаточность изучаемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности. Такое условие становится решающим в случае использования выборочного наблюдения, когда важно обеспечить репрезентативность выборки.

Определение минимального и максимального значения признака в рассматриваемой совокупности является также условием использования средней величины в статистическом анализе. Если существуют большие отклонения между крайними значениями и средней, то важно проверить принадлежность экстремумов к изучаемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана кратковременными и случайными факторами, тогда возможно, что крайние значения не характерны для совокупности. А значит, их необходимо исключить из анализа, поскольку они оказывают влияние на среднюю.

2 . Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Расчет некоторых средних величин:

Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников

Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала

Средний процент брака = (стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции) * 100%

Перечисленные виды средних величин можно объединить общей формулой (среднее значение исследуемого явления):

m - показатель степени средней величины;

х - текущее значение осредняемого признака;

n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних величин, если:

m = -1 - средняя гармоническая;

m = 0 - средняя геометрическая;

m = 1 - средняя арифметическая;

m = 2 - средняя квадратичная.

В экономике используется большое количество показателей, вычисляемых в виде средних величин. К примеру, интегральным показателем доходов работающих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, который определяется отношением суммарного фонда заработной платы и выплат социального характера за определенный период (год, квартал, месяц) к итоговой численности рабочих АО.

Для рабочих с одинаковым уровнем доходов, например, сотрудников бюджетной сферы и пенсионеров по старости можно определить доли расходов на покупку продуктов питания. Так можно расчитать среднюю продолжительность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда и т.д.

Правило мажорантности средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Если все значения признака (х) увеличить (уменьшить) в одно и то же число К раз, то средняя увеличится (уменьшится) в К раз.

Если все значения признака (x) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A, то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.

Если все значения весов (f) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится.

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Одновременное использование некоторых свойств позволяют упростить расчет средней арифметической: можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K, а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K, а к произведению прибавить А, то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка, а вышеизложенный способ расчета средней - способом моментов, или отсчетом от условного нуля.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности.

При отсутствии возможности экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами - ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.

3. П рактическое применение средних величин

Средние величины используются для нахождения уравнения регрессии.

Исходные данные показателей x и y, а также промежуточные расчеты для нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Расчеты, необходимые для нахождения параметров регрессии

	Надой молока на 1 корову (Y)

Формула уравнения регрессии:

Найдем коэффициент регрессии a1

Линейное уравнение регрессии: у = 183,7241х + 2171,751

2) Прежде, чем построить эмпирическую и теоретическую линии зависимости у от х, построим таблицу значений.

Таблица 2 - Значения теоретической и эмпирической функций

	Продолжительность вегетативного периода(Х)	Надой молока на 1 корову (Y)

Точки линейной регрессии и эмпирические значения представлены на графике ниже (рис. 1).

Рисунок 1 - Эмпирические и теоретические значения

3) Линейный коэффициент корреляции:

Связь между признаками прямая, несущественная.

4) Коэффициент детерминации:

R2 = (0,28*0,28)*100% = 7,84%

Коэффициент алиенации: А= 0,96

5) Рассчитаем ошибку коэффициента корреляции и достоверность коэффициента.

Проверим значимость r с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости а=0,05

6) Коэффициент Спирмэна будет невозможно правильно сравнить с табличным значением, поскольку объем выборки больше 40.

7) Коэффициент корреляции знаков Ферхена

Таблица 3 - Число С, Н

	Надой молока на 1 корову (Y)	Продолжительность вегетативного периода(Х)

С=24; Н=41-24 = 17

Кф = (24-17)/41 = 0,17<0,3 => связь несущественная

8) Коэффициент корреляции показывает, что связь между продолжительностью вегетативного периода и надоем молока на 1 корову прямая, но несущественная. Коэффициент детерминации намного меньше 50%, следовательно, зависимость между двумя признаками слабая. По всем способам проверки значимости коэффициента детерминации было выяснено, что коэффициент линейной корреляции незначим.

Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

Например: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Таблица 4 - Проданная женская обувь по размерам

В этом ряду распределения модой является 37 размер, т.е. Мо = 37.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где ХMo - нижняя граница модального интервала;

hMo - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала;

fMo-1 и fMo+1 - частота интервала соответственно

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Таблица 5

Определить моду интервального ряда распределения.

Мода интервального ряда составляет:

Мо = 6+2х(35-20)/(35-20+35-11) = 6,77 года.

Мода всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины - больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака.

В дискретном упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Например: Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например: Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (4+5)/2 = 4,5 года

Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Таблица 6

Размер обуви	Количество проданных пар	Сумма накопленных частот

средний величина медиана мода

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина - 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Например: По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих

Таблица 7

Медиана будет равна:

Ме = (16,0+16,8)/2 = 16,4 тыс. руб.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

Где ХМе - нижняя граница медианного интервала;

hMe - величина медианного интервала;

F - сумма частот ряда;

fМе - частота медианного интервала;

Таблица 8

	Число предприятий	Сумма накопленных частот

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её значение:

Ме = 400+100х(80/2 -11)/30 = 400+96,66 = 496,66 чел.

Если же сумма накопленных частот против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:

где n - число единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 9

Группы предприятий по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот

Медиана рассчитывается следующим образом:

Ме = 500+100((80+1)/2 - 40)/20 = 502,5 чел.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически:

Моду в дискретных рядах - по полигону распределения;

Моду в интервальных рядах - по гистограмме распределения;

Медиану - по кумуляте.

Мода интервального ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом.

Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Рисунок 2 - Графическое определение моды по гистограмме

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рисунок 3 - Графическое определение медианы по кумуляте

Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики - квантили.

Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль - это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда какого-либо признака. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану. К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

Различают следующие виды квантилей:

Квартили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре равные части;

Децили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять равных частей;

Перцентели - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

Для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую.

Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых

Для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me.

Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

З аключение

Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте, именно по - этому средняя имеет большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего - проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель - это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является потому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.

Средняя величина является отражением значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

Литература

1. Батурина И., Непринцева Е. Производство и предложение. Издержки и прибыль. \\ Жур. «Российский экономический журнал». № 3., 2009, с. 119.

2. Беложецкий И.А. Прибыль предприятия. // Жур. «Финансы», № 3, 2009, с. 40.

3. Булатова А.С. Экономика: Учебник. - М.: Изд-во БЕК. - 2008. - с. 632.

4. Вероятность. Примеры и задачи: А. Шень - Москва, МЦНМО, 2009 г.- 64 с.

5. Долан Э. Дж., Линдсей Д. Микроэкономика. - 2009. - с. 448.

6. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 656 с.

7. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 368 с.

8. Зубко Н.М. Экономическая теория - Мн.: НТЦ АПИ. - 2008. - с. 311.

9. Емцов Р.Г., Лукин М.Ю. Микроэкономика: Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во ДИС. - 2009. - с. 320.

10. Эдвин Дж. Долан, Дейвид Е. Линдсей. Рынок: микроэкономическая модель. Пер. с англ. СПб.: 2010. - с. 224.

11. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 2008 г., т. 1 с. 116.

12. Кодацкий В.П. Проблемы формирования прибыли. // Жур. «Экономист», № 3, 2010, с. 49-60.

13. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: учебник для вузов / О.Э. Башина и др.; под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 440 с.

14. Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 480 с.

15. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В.Н. Салин и др.; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 192 с.

16. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 368 с.

17. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

18. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 656 с.

19. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Виды и применение абсолютных и относительных статистических величин. Сущность средней в статистике, виды и формы средних величин. Формулы и техника расчетов средней арифметической, средней гармонической, структурной средней. Расчет показателей вариации.

лекция , добавлен 13.02.2011


Группы средних величин: степенные, структурные. Особенности применения средних величин, виды. Рассмотрение основных свойств средней арифметической. Характеристика структурных средних величин. Анализ примеров на основе реальных статистических данных.

курсовая работа , добавлен 24.09.2012


Понятие абсолютной и относительной величины в статистике. Виды и взаимосвязи относительных величин. Средние величины и общие принципы их применения. Расчет средней через показатели структуры, по результатам группировки. Определение показателей вариации.

лекция , добавлен 25.09.2011


Применение приема балансовых сопоставлений для определения соотношения между источниками ресурсов. Сопоставление статей баланса на отчетный период. Средние величины в экономическом анализе: среднеарифметические, геометрические, простые, средневзвешенные.

контрольная работа , добавлен 06.08.2015


Расчет средних уровней производительности труда и показателей вариации. Понятие моды и медианы признака, построение полигона и оценка характера асимметрии. Методика выравнивания ряда динамики по прямой линии. Индивидуальные и агрегатные индексы объема.

контрольная работа , добавлен 24.09.2012


Изучение сущности, видов, сферы применения средних величин. Характеристика степенных средних величин: средняя арифметическая; средняя гармоническая; средняя геометрическая; средняя квадратическая. Анализ структурных величин: медиана, мода, их расчет.

курсовая работа , добавлен 16.01.2010


Технико-экономические показатели групп заводов; ряды распределения. Относительные величины интенсивности, цепные и базисные индексы товарооборота. Расчет средней величины, моды и медианы. Среднее квадратическое отклонение; дисперсия, коэффициент вариации.

контрольная работа , добавлен 06.10.2013


Средние статистические величины и аналитическая группировка данных предприятия. Результаты расчета коэффициента Фехнера по цехам. Измерение степени тесноты связи в статистике с помощью показателя корреляции. Поля корреляции и уравнения регрессии для цеха.

практическая работа , добавлен 26.11.2012


Определение фактического уровня безработицы. Макроэкономические показатели экономики России. Расчеты величины спроса после изменения цены. Определение величины бухгалтерской и экономической прибыли за год. Расчеты величины реального ВВП государства.

контрольная работа , добавлен 15.01.2011


Условия применения средних величин в анализе. Виды средних величин. Средняя арифметическая. Средняя гармоническая. Средняя геометрическая. Средняя квадратическая и средняя кубическая. Структурные средние.

Средние величины

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых как основные, так и случайные. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей. Так там, где возникает потребность обобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различных индивидуальных значений признака средним показателем, характеризующим всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям. Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при разных значениях ш):

где * - среднее значение исследуемого явления; ш - показатель степени средней; х - текущее значение признака; п - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени ш различают следующие виды степенных средних:

• при ш = - 1 - средняя гармоническая х гар;
• при ш = 0 - средняя геометрическая х г ;
• при ш =1 - средняя арифметическая х ;
• при ш =2 - средняя квадратическая х кв ;
• при ш =3 - средняя кубическая х куб .

Это свойство степенных средних возрастает с повышением показателя степени определяющей функции и называется в статистике правилом мажорантности средних.

Наиболее распространенным видом является средняя арифметическая. Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значении признаков отдельных ее единиц. Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппиро- ванные индивидуальные значения признака):

где - индивидуальные значения варьирующего признака;

п - число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты). Средняя арифметическая

взвешенная - средняя сгруппированных величин Х 1 ,Х 2 ,Х 3 ...Х П - вычисляется по формуле:

где - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. К основным свойствам относится:

• 1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
• 2. Если все варианты признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.
• 3. Если веса всех вариантов уменьшить или увеличить в К раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге. Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Отметим, что средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведением xf ,

применяется формула средней гармонической. Она используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений - вариантов признака х:

где п - число вариантов;

П - знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных и кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая и средняя кубическая.

Формулы для расчета средней квадратической:

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная:

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

Средняя кубическая простая:

Средняя кубическая взвешенная:

Средняя квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко используется статистика средней квадратической.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Модой распределения (°) называется такая величина изучаемого признака, которая в

данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие.

Рассмотрим определение моды по несгруппированным данным. Например: 10 студентов имеют следующие экзаменационные оценки: 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4. Так как в данной группе больше всего студентов получили 4, то это значение и будет модальным.

Для упорядоченного дискретного ряда распределения мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариантов и соответствует варианту с наибольшей частотой.

Модальный интервал в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами - по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующей формуле:

где х т0 - нижняя граница модального интервала;

i m0 - величина модального интервала;

fmo ~ частота модального интервала;

fmo-i - частота интервала, предшествующего модальному;

fmo+i ~ частота интервала, следующего за модальным.

Медиана - вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппирован- ных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Значение медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

где п - число членов ряда.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будет находиться медиана. Для определения ее величины используется специальная формула:

где х ие - нижняя граница интервала, который содержит медиану; i ие - медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

F m _ 1 - накопленная частота в интервале, предшествующему медианному;

fме " числ0 наблюдений в медианном интервале.

Таким образом, мода и медиана являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Назовите виды статистических показателей. Приведите примеры.
• 2. Что понимается под абсолютными статистическими величинами и каково их значение? Приведите примеры абсолютных величин.
• 3. Всегда ли для анализа изучаемого явления достаточно одних абсолютных показателей?
• 4. Что называется относительными показателями?
• 5. Каковы основные условия правильного расчета относительной величины?
• 6. Какие виды относительных величин Вы знаете? Приведите примеры.
• 7. Дайте определение средней величины.
• 8. Какие виды средних величин применяются в статистике? Какие виды средних величин используются чаще всего?
• 9. Как исчисляется средняя арифметическая простая и в каких случаях она применяется?
• 10. Как исчисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?
• 11. Как исчисляется средняя арифметическая из вариационного

• 12. Каковы основные свойства средней арифметической?
• 13. Для чего служит средняя гармоническая? Чем она отличается от средней арифметической?

Наиболее распространённой формой статистических показателей является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей отдельных единиц.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

В теории средних используются следующие условные обозначения.

1.Признак, по которому определяется среднее, называется осредняемым признаком и обозначается .

2.Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется его индивидуальным значением и обозначается .

3.Повторяемость индивидуальных значений называется частотой и обозначается f .

4. Суммарное значение признака обозначается W .

Всякий количественный признак статистической совокупности имеет одно единственное среднее значение. Оно может быть рассчитано различными способами в зависимости от формы выражения осредняемого признака (абсолютной, относительной и средней) и имеющейся информации. В зависимости от степени k получаются различные виды средних.

1.Средняя арифметическая простая – наиболее распространенный вид средней

k =1

2.Средняя арифметическая взвешенная – используется в том случае, если известны индивидуальные значения признака и их частоты f . Каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называют статистическими весами или просто весами средней .

Пример. По имеющимся данным рассчитаем средний стаж работы сотрудников

3.Средняя гармоническая простая используется в том случае, если необходимо чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

где – сумма обратных значений признака.

Пример . Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком со скоростью 60км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Пусть расстояние перевозки составило S км. Никакой роли при расчете средней скорости S не играет. При замене индивидуальных значений скорости на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной оставалось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой – от скорости черепахи до скорости света. Время поездок равно . Итак,

Сократив все члены равенства на S, получим т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя и , получаем

Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, т.к. приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит

В статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная.

4.Средняя гармоническая взвешенная используется, если известны индивидуальные значения признака и суммарные значения признака.

Пример

5.Средняя агрегатная используется, если известны суммарные значения признака и их частоты.

Пример . Определить среднюю стоимость продукции, если известно

6.Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, а также в технике

k =2

Средняя квадратическая взвешенная

7.Средняя геометрическая используется для расчета среднего темпа роста по цепной схеме k= 0

При k= 1 получаем арифметическую среднюю, при k= 2 – квадратическую, при k= 3 – кубическую, при k= 0 – геометрическую, при k= -1 – гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k , тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны const. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних :

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего в сессию оценки 2 и 5. Каков его средний бал?

Если судить по средней арифметической, то средний бал равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки.

Однако студенческий совет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину . Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию.

Структурные средние – мода и медиана – в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие со вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении практических задач.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Для дискретного ряда распределения мода определяется без расчета, путем просматривания столбца частот, и соответствует значению признака с наибольшей частотой. Из примера №1 наибольшая частота f=20 , что соответствует 4 тарифному разряду, следовательно M o =4.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частоты интервала соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Модальному соответствует интервал с наибольшей частотой.

Рассчитаем моду для примера № 2. Модальному соответствует интервал 130-140. Для него , = 140-130=10, =20,

Чаще всего норма выработки работников составляет 134%, чаще всего план перевыполняется на 34%.

Медиана – значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Ранжированный ряд – ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания признака. Для дискретных вариационных рядов медиана не рассчитывается, а определяется путем просмотра ряда. Например, для пяти работников дневная норма выработки деталей составляет соответственно 10, 12, 15, 16 и 18 шт. М е является выработка третьего работника и равна 15 деталям. При четном количестве значений признака за медиану принимается полусумма значений признака, занимающих срединное значение. Н-р, при 10 значениях полусумма 5-го и 6-го значений признака.

Для интервального ряда медиана определяется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– полусумма объема вариационного ряда;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Медианным называется интервал, соответствующий половине объема ряда. Для того, найти медианный интервал, необходимо накапливать частоты до тех пор, пока не будет найден интервал, содержащий в себе половину объема ряда.

Рассчитаем медиану для примера № 2. Медианный интервал 120-130, т.к. соответствующая ему накопленная частота содержит в себе половину объема ряда. Для него

– Половина работников выполняет норму выработки меньше, чем 129%, а другая половина рабочих выполняет норму выработки больше, чем 129%.