1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.
Результаты действий с числами дают: с приближенными числами приближенные числа. Например. Во время эпидемии 60% жителей Санкт-Петербурга болеют гриппом. Это приблизительно 3млн человек. с точными числами точное числа Например. В аудитории на лекции по математике 65 человек. приближенные числа Например. Средняя температура тела пациента в течение дня 37,3: утро: 37,2 ; день:36,8 ; вечер38.
Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.
1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Округление: а) до десятых 12,34 12,3; б) до сотых 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тысячных 3,4335 3,434. г) до тысяч; При этом учитывают следующее:
Величины, наиболее часто измеряемые в медицине: масса m, длина l, скорость процесса v, время t, температура t, объём V и т.д. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу. 9 Единицы измерения физических величин: О с н о в н ы е Длина - 1 м - (метр) Время - 1 с - (секунда) Масса - 1 кг - (килограмм) П р о и з в о д н ы е Объем - 1 м³ - (метр кубический) Скорость - 1 м/с - (метр в секунду)
Приставки к названиям единиц: Кратные приставки - увеличивают в 10, 100, 1000 и т.д. раз г - гекто (×100) к – кило (× 1000) М – мега (×) 1 км (километр) 1 кг (килограмм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольные приставки – уменьшают в 10, 100, 1000 и т.д. раз д – деци (×0, 1) с – санти (× 0, 01) м – милли (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (миллиметр) 1мм = 0,001 м Кратные приставки используют при измерении больших расстояний, масс, объемов, скоростей и т. п. Дольные приставки используют при измерении малых расстояний, скоростей, масс, объёмов и т.п.
Для диагностики, лечения, профилактики заболеваний в медицине используется различная измерительная медицинская аппаратура.
Термометр. Во-первых, нужно учесть верхний и нижний пределы измерений. Нижний предел – это минимальное, а верхний – максимальное измеряемое значение. Если неизвестно предполагаемое значение измеряемой величины, лучше взять прибор с «запасом». Например, измерение температуры горячей воды не стоит проводить уличным или комнатным термометром. Лучше найти прибор с верхним пределом 100 °С. Во-вторых, нужно понять, насколько точно должна быть измерена величина. Так как погрешность измерений зависит от цены деления, для более точных измерений выбирается прибор с меньшей ценой деления.
Погрешности измерений. Для измерения разных диагностических параметров величин нужен свой прибор. Например, длину измеряют линейкой, а температуру – термометром. Но линейки, термометры, тонометры и другие приборы бывают разными, поэтому чтобы измерить какую- либо физическую величину, нужно выбрать подходящий именно для этого измерения прибор.
Цена деления прибора. Температуру тела человека нужно определять точно, лекарства вводить строго определенное количество,поэтому Цена делений шкалы измерительного прибора – важная характеристика каждого прибора. Правило для вычисления цены деления прибора.. Чтобы подсчитать цену делений шкалы, нужно: а) выбрать на шкале два ближайших оцифрованных штриха; б) сосчитать количество делений между ними; в) разность значений около выбранных штрихов разделить на количество делений.
Цена деления прибора. Цена деления (50-30)/4=5 (мл) Цена деления: (40-20)/10=2 км/ч, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR, (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп, (4-2)/10=0,2 с
Определите цену деления приборов: 16
Абсолютная погрешность измерения. При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три части: ошибки, вызванные несовершенством приборов; ошибки, вызванные несовершенством методов проведения измерений; ошибки обусловленные влиянием случайных факторов, от которых невозможно избавиться. Измеряя какую-либо величину, хочется знать не только её значение, но и то, насколько этому значению можно доверять, насколько оно точно. Для этого необходимо знать, насколько истинное значение величины может отличаться от измеренного. Для этих целей вводится понятие абсолютной и относительной погрешностей.
Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность показывает, на сколько реальное значение физической величины отличается от измеренного. Она зависит от самого прибора (инструментальная погрешность) и от процесса измерений (погрешность отсчёта по шкале). Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется разность Δ x = |x – x 0 |, где х 0 - приближенное значение, а х – точное значение измеряемой величины или иногда вместо х употребляют А ΔА = |А – А 0 |.
Абсолютная и относительная погрешности. Пример. Известно, что -0,333 приближенное значение для -1/3. Тогда по определению абсолютной погрешности Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность не может быть. Это любое число h,удовлетворяющее неравенству | Δ x | h Оно называется границей абсолютной погрешности.
В этом случае говорят, что величина х приближенно с точностью до h равна x 0. х=х 0 ± h или х 0 - h х х 0 + h
Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений
Оценка приборных погрешностей измеряемых величин. Для большинства измерительных приборов, погрешность прибора равна цене его деления. Исключение составляют цифровые приборы и стрелочные измерительные приборы. Для цифровых приборов погрешность указывается в их паспорте и обычно в раз превышает цену деления прибора. Для стрелочных измерительных приборов погрешность определяется их классом точности, который указывается на шкале прибора, и пределом измерений. Класс точности указывается на шкале прибора как число, которое не обведено никакими рамками. Например, на приведенном рисунке класс точности манометра равен 1,5. Класс точности показывает, сколько процентов составляет погрешность прибора от предела его измерений. Для стрелочного манометра предел измерений составляет 3 атм, соответственно погрешность измерения давления равна 1,5% от 3 атм, то есть 0,045 атм. Следует отметить, что для большинства стрелочных приборов их погрешность оказывается равной цене деления прибора. Как и в нашем примере, где цена деления барометра равна 0,05 атм.
Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность нужна для определения диапазона, в который может попасть истинное значение, но для оценки точности результата в целом она не очень показательна. Ведь измерение длины в 10 м с погрешностью в 1 мм безусловно является весьма точным, в то же время измерение длины в 2 мм с погрешностью в 1 мм очевидно является крайне неточным. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры ΔА 0,17 0,2. Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности А=10,332 10,3
Абсолютная и относительная погрешности. Наряду с абсолютной погрешностью принято рассматривать и относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению самой величины. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: Е = Δx. 100% х 0 Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла произойти ошибка и является показательной при оценки качества результатов эксперимента.
Пример. При измерении длины и диаметра капилляра получили l =(10,0 ±0,1)см, d=(2,5 ±0,1)мм. Какое из этих измерений точнее? При измерении длины капилляра допускается абсолютная погрешность 10мм на 100мм следовательно абсолютная погрешность10/100=0,1=10%. При измерении диаметра капилляра допустимая абсолютная погрешность 0,1/2,5=0,04=4% Следовательно измерение диаметра капилляра выполнено точнее.
Во многих случаях нельзя найти абсолютную погрешность. Следовательно и относительную погрешность. Но можно найти границу относительной погрешности. Любое число δ,удовлетворяющее неравенству | Δ x | / | x о | δ,является границей относительной погрешности. В частности, если h–граница абсолютной погрешности, то число δ= h/| x о |, является границей относительной погрешности приближения x о. Отсюда. Зная границу отн.п-и. δ можно найти границу абсолютной погрешности h. h= δ | x о |
Пример. Известно, что 2=1,41… Найти относительную точность приближенного равенства или границу отн.погрешности приближенного равенства 2 1,41. Здесь х = 2, x о = 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x о 0,01/1,41=1/141, Граница абс.погрешности равна 0,01, аграница относительной погрешности равна 1/141
Пример. При считывании показаний со шкалы важно, чтобы ваш взгляд падал перпендикулярно шкале прибора, при этом ошибка будет меньше. Для определения показания термометра: 1.определяем количество делений, 2. умножаем их на цену деления 3. учитываем погрешность 4.записываем окончательный результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Это означает, что температура лежит в пределах от 18,5° до 21,5°. То есть она может быть, например, и 19, и 20 и 21 градусов Цельсия. Чтобы увеличить точность измерений, принято повторить их не менее трёх раз и вычислить среднее значение измеряемой величины
Н А Х О Ж Д Е Н И Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н И Я Результаты измерений С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33,5 С 5 = 54,2 а)Найдем среднее значение четырех величин с ср = (с 1 + с 2 + с 3 + с 4):4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 б)Найдем отклонение величины от среднего значения Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4
В)Найдем абсолютную погрешность Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Найдем относительную погрешность δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9 % д) Запишем окончательный ответ с = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Подготовиться к к практическому занятию по материалам лекции. Выполнить задание. Найти среднее значение и погрешность: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Создать презентации по темам: «Округление величин в медицине», «Погрешности измерений», «Медицинская измерительная аппаратура»
В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.
Так, например, известно, что длина Суэцкого канала 160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измерений, произведенных с точностью до километра. Если, например, длина прямоугольного участка 29 м, ширина 12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью до метра, а долями метра пренебрегли,
Прежде чем произвести какое-либо измерение, необходимо решить, с какой точностью его нужно выполнить, т.е. какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.
Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х .
При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью. Определение. Если число x является приближенным значением (приближением) некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел, а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается a x : или просто a . Таким образом, по определению,
a x = a-x (1)
Из этого определения следует, что
a = x a x (2)
Если известно, о какой величине идет речь, то в обозначении a x индекс а опускается и равенство (2) записывается так:
a = x x (3)
Так как истинное значение искомой величины чаще всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность приближения этой величины. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может. Это число называется границей абсолютной погрешности приближения величины a и обозначается h a . Таким образом, если x -- произвольное приближение величины а при заданной процедуре получения приближений, то
a x = a-x h a (4)
Из сказанного выше следует, что если h a является границей абсолютной погрешности приближения величины а , то и любое число, большее h a , также будет границей абсолютной погрешности приближения величины а .
На практике принято выбирать в качестве границы абсолютной погрешности возможно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (4).
Решив неравенство a-x h a получим, что а заключено в границах
x - h a a x + h a (5)
Более строгое понятие границы абсолютной погрешности можно дать следующим образом.
Пусть X -- множество всевозможных приближений х величины а при заданной процедуре получения приближении. Тогда любое число h , удовлетворяющее условию a-x h a при любом хХ , называется границей абсолютной погрешности приближений из множества X . Обозначим через h a наименьшее из известных чисел h . Это число h a и выбирают на практике в качестве границы абсолютной погрешности.
Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1 см определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность.
Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.
Определение. Если a x : есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а , то отношение a x к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается a x или x .
Таким образом, по определению,
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.
На практике рассматривают не относительную погрешность, а так называемую границу относительной погрешности: такое число Е a , больше которого не может быть относительная погрешность приближения искомой величины.
Таким образом, a x Е a .
Если h a -- граница абсолютной погрешности приближений величины а , то a x h a и, следовательно,
Очевидно, что любое число Е , удовлетворяющее условию, будет границей относительной погрешности. На практике обычно известны некоторое приближение х величины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за границу относительной погрешности принимают число
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«КУРЛЕКСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
Томского района
«Математика
в науке и жизни»
«Урок семинар» по теме:
«Приближенные значения величин»
(О прикладной направленности абсолютной и относительной
погрешностей)
Алгебра 7 класс
Учитель математики:
Серебренникова Вера Александровна
Курлек - 2006
«Математика в науке и жизни»
«Язык математики –
это всеобщий язык науки»
Тема:
Приближенные значения величин.
(Обобщающий урок - семинар)
Цель: 1. Обобщить знания учащихся по данной теме с учетом прикладной направленности (в физике, трудового обучения);
2. Умение работать в группах и принимать участие в выступлениях
Оборудование:
2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)
Вступительное слово и представление участников семинара
(учитель)
Рассмотрим один из важных вопросов – приближенные вычисления. Несколько слов о его важности.
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин.
Напомню, в каких случаях получаются приближенные значения:
при подсчете большого количества предметов;
при измерениях с помощью приборов различных величин (длины, массы, температуры);
при округлении чисел.
Участниками семинара сегодня будут 3 группы: математики, физики и представители производства (практики).
(Представляют группы «старшие», называют свою фамилию).
Оценивать работу семинара будут гости и компетентное жюри от общественности, где есть «математики», «физики» и «практики».
Оцениваться будет работа групп и отдельных участников баллами.
План работы
(на доске)
1. Выступления
2. Самостоятельная работа
3. Викторина
4. Итоги
. Выступления.
Мерой оценки отклонения приближенного значения от точного
2
Абсолютная погрешность показывает на сколько
приближенное значение отличается от точного, т.е. точность приближения.
Относительная погрешность оценивает качество измерения и
выражается в процентах.
Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное, то абсолютная погрешность будет: │х – α │, а относительная: │х – α │∕ │α│%
Примеры:
1 . Найдем абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления числа 0,437 до десятых.
Абсолютная погрешность: │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037
Относительная погрешность: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25%
Найдем по графику функции у = х 2 приближенное значение
Если х = 1,6, то у ≈ 2,5
Найдем по формуле у = х 2 точное значение у: у = 1,6 2 = 2,56;
Абсолютная погрешность: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;
Относительная погрешность: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%
Если сравнить два результата относительной погрешности 9,25% и
2,4%, то во втором случае качество вычисления будет выше, результат будет точнее.
Отчего зависит точность приближенного значения?
Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.
Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 (≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,1 0 , значит точность до 0,1 (≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 (≤ 200).
Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 (≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 (≤ 0,01).
Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института
Всегда ли можно найти абсолютную и относительную погрешности?
Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно
точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.
В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью до 0,1 (≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).
Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.
Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).
ℓ 1 = 20,4см ℓ 2 = 20,2см
0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1: 20,2 = 0,0495 = 4,95%
Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).
В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине
относительной погрешности, а ее оценке.
На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся
штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).
Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:
d = 9,86см = 98,6мм
0,1: │98,6│= 0,1: 98,6 = 0,001 = 0,1%
Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).
Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.
Из трех практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.
Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.
4
. Самостоятельная работа по вариантам, с последующей проверкой
(под копирку).
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
1. Построить график функции у = х 3 |
1. Построить график функции у = х 2 |
б) у = 4 при х ≈ |
Пользуясь графиком закончить запись:
б) у = 5 при х ≈ |
|
2. Округлить число 0,356 до десятых и найти: a) абсолютную погрешность приближения; б) относительную погрешность приближения
|
2. Округлить число 0,188 до десятых и найти: a) абсолютную погрешность приближения; б) относительную погрешность приближения
|
(Жюри проверяет самостоятельные работы)
. Викторина. (За каждый правильный ответ – 1 балл)
В каких примерах значения величин точные, а в каких приближенные?
Примеры:
1. В классе 36 учеников
2. В рабочем поселке 1000 жителей
3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м
4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей
5. В самолете ЯК – 40 120 пассажирских мест
6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км
7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен
8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 10 8 км
9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?
10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.
11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм
v. Подведение итогов, награждение
Точные и приближенные значения величин
В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, к примеру результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.
Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).
Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.
Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:
| Точные значения | Приближенные значения |
| 1.Значения ряда переводных множителей перехода от одних единиц измерения к другим (1м = 1000 мм; 1ч = 3600 с) Многие переводные множители измерены и вычислены со столь высокой (метрологической) точностью, что практически их считают сейчас точными. | 1. Большинство значений математических величин, заданных в таблицах (корни, логарифмы, значения тригонометрических функций, а также применяемые на практике значение числа и основания натуральных логарифмов (число е)) |
| 2.Масштабные множители. В случае если, к примеру, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считают точными. В случае если указано, что в 1см – 4 м, то 1 и 4 – точные значения длины | 2. Результаты измерений. (Некоторые основные константы: скорость света в вакууме, гравитационная постоянная, заряд и масса электрона и др.) Табличные значения физических величин (плотность вещества, температуры плавления и кипения и др.) |
| 3.Тарифы и цены. (стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии – точное значение цены) | 3. Проектные данные также являются приближенными, т.к. их задают с некоторыми отклонениями, которые нормируются ГОСТами. (К примеру, по стандарту размеры кирпича: длина 250 6 мм, ширина 120 4 мм, толщина 65 3 мм) К этой же группе приближенных значений чисел относятся размеры, взятые с чертежа |
| 4.Условные значения величин (Примеры: абсолютный нуль температуры -273,15 С, нормальное атмосферное давление 101325 Па) | |
| 5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах ( ; %; и т.д.). | |
| 6. Результаты счета предметов (количество аккумуляторов в батарее; число пакетов молока, выпущенных заводом и подсчитанных фотоэлектрическим счетчиком) | |
| 7. Заданные значения величин (К примеру, в задаче, «Найти периоды колебаний маятников длиной 1 и 4 м» числа 1 и 4 можно считать точными значениями длины маятника) |
Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:
1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:
1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3
2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с
3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)
4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С
5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1
6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16
2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:
1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.
2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».
3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?
1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?
2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.
3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.
4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.
Если известно, что а < А, то а называют приближенным значением величины А с недостатком. Если а > А, то а называют приближенным значением величины А с избытком.
Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения и обозначается D, т.е.
D = А – а (1)
Погрешность D приближения может быть как числом положительным, так и отрицательным.
Для того чтобы охарактеризовать отличие приближенного значения величины от точного, часто бывает достаточно указать абсолютную величину разности точного и приближенного значений.
Абсолютная величина разности между приближенным а и точным А значениями числа называется абсолютной погрешностью (ошибкой) приближения и обозначается D а :
D а = ½а – А ½ (2)
Пример 1. При измерении отрезка l использовали линейку, цена деления шкалы которой равна 0,5 см. Получили приближенное значение длины отрезка а = 204 см.
Понятно, что при измерении могли ошибиться не более, чем на 0,5 см, т.е. абсолютная погрешность измерения не превышает 0,5 см.
Обычно абсолютная ошибка неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки:
D а <= D а пред . (3)
где D а пред . – предельная ошибка (число, большее нуля), задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.
Предельная абсолютная погрешность называется также границей погрешности
. Так, в приведенном примере,
D а пред
. = 0,5 см.
Из (3) получаем:
D а = ½а – А ½<= D а пред . .
а – D а пред . ≤ А ≤ а + D а пред . . (4)
а – D а пред . будет приближенным значением А с недостатком,
а + D а пред – приближенным значением А с избытком. Пользуются также краткой записью:
А = а ± D а пред (5)
Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству (3), будет бесконечное множество. На практике стараются выбрать возможно меньшее из чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству D а <= D а пред .
Пример 2. Определим предельную абсолютную погрешность числа а=3,14 , взятого в качестве приближенного значения числа π.
Известно, что 3,14<π<3,15. Отсюда следует, что
|а – π |< 0,01.
За предельную абсолютную погрешность можно принять число D а = 0,01.
Если же учесть, что 3,14<π<3,142 , то получим лучшую оценку: D а = 0,002, тогда π ≈3,14 ±0,002.
4. Относительная погрешность (ошибка). Знания только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения.
Пусть, например, при взвешивании двух тел получены следующие результаты:
Р 1 = 240,3 ±0,1 г.
Р 2 = 3,8 ±0,1 г.
Хотя абсолютные погрешности измерения обоих результатов одинаковы, качество измерения в первом случае будет лучшим, чем во втором. Оно характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью (ошибкой) приближения числа А называется отношение абсолютной ошибки D а приближения к абсолютной величине числа А:
Так, как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением и тогда:
(7)
Предельной относительной погрешностью или границей относительной погрешности приближения, называется число d а пред. >0, такое, что:
d а <= d а пред. (8)
За предельную относительную погрешность можно, очевидно, принять отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения:
(9)
Из (9) легко получается следующее важное соотношение:
∆ а пред. = |a | d а пред. (10)
Предельную относительную погрешность принято выражать в процентах:
Пример. Основание натуральных логарифмов для расчета принято равным е =2,72. В качестве точного значения взяли е т = 2,7183. Найти абсолютную и относительную ошибки приближенного числа.
D е = ½е – е т ½=0,0017;
.
Величина относительной ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки. Так, у числа 634,7, рассчитанного с абсолютной ошибкой D = 1,3 и у числа 6347 с ошибкой D = 13 относительные ошибки одинаковы: d = 0,2.
О величине относительной ошибки можно примерно судить по количеству верных значащих цифр числа.
Загрузка...