Приступая к решению задачи, следут вначале определить число степеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механизма), по числу независимых возможных перемещений или координат системы.
В плоских механизмах число степеней свободы можно практически определять так. Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступательное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременно останавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этого часть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановлено перемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, то он имеет две степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизма какой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигаться - у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма может двигаться, то выбирается вторая координата и т. д.
Для решения задачи геометрическим методом, когда система имеет одну степень свободы, надо: 1) изобразить все действующие на систему активные силы; 2) сообщить системе возможное перемещение и показать на чертеже элементарные перемещения точек приложения сил или углы 69, элементарных поворотов тел, на которые действуют силы (у элементарных перемещений будем на чертеже указывать их модули , которые непосредственно входят в условия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всех активных сил на данном перемещении по формулам:
и составить условие (99); 4) установить зависимость между величинами вошедшими в равенство (99), и выразить эти величины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степенью свободы всегда можно сделать.
После замены в равенстве (99) всех величн через одну получим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче величина или зависимость.
Зависимости между можно находить: а) из соответствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными или угловыми скоростями соответствующих точек или тел системы, а затем полагая , что справедливо, так как получаемые точками или телами за время dt действительные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости между возможными перемещениями такими же, как между соответствующими скоростями, см. задачи 165, 166 и др.).
Для системы с несколькими степенями свободы задачу можно решать, составляя условие (99) для каждого из независимых возможных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В результате для системы получится столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, приводящий к тем же результатам, изложен в § 144.
При аналитическом методе расчета условие равновесия составляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты точек приложения этих сил, выражая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины находятся дифференцированием координат по этому параметру.
Если все координаты выразить через один параметр сразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затем установить зависимость между ними.
Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можно пользоваться для решения задач и при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, что после отбрасывания связи у системы появляется новая степень свободы.
Задача 164. В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимость между силами Р и Q при равновесии.
Решение, У системы одна степень свободы. Если сообщить системе возможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованных стержнями, удлинятся на одну и ту же величину . Тогда .
Составляя уравнение (99), получим:
откуда . Результат получается очень просто.
Задача 165. Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при данном угле наклона а (рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения.
Решение. Если пренебречь сопротивлением качению, то плоскость для катков будет идеальной связью. При качении без скольжения у системы одна степень свободы. Сообщая системе возможное перемещение, получаем по условию (99)
где - возможное перемещение бревна, совпадающее с перемещением точки В.
Точка касания К является мгновенным центром скоростей катка. Следовательно, , если считать , Подставляя это значение в предыдущее уравнение, найдем окончательно
Задача 166. Найти зависимость между моментом М пары, действующей на кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис, 356), и силой давления Р на поршень при равновесии, если
Решение. У механизма одна степепь свободы. Из условия равновесия (99), если положить получим:
Решение сводится к нахождению зависимости между Эта кинематическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63). Пользуясь полученным там результатом, находим
Задача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти зависимость между вращающим моментом приложенным к ведущему валу А, и моментом сопротивлений приложенным к ведомому валу В, когда оба вала вращаются равномерно.
Решение. При равномерном вращении соотношение между будет таким же, как при равновесии. Следовательно, по условию (99), если положить будет:
Отсюда, пользуясь результатом, полученным в задаче 83, находим
Задача 168. Пайтн зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждом повороте рукоятки винт D выдвигается на величину
Решение. Составляя условие равновесия (99), получаем
Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки виит вывинчивается также равномерно, тогда
Подставляя это значение в предыдущее равенство, находим
Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.
Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности примененного метода. Но при конкретном инженерном расчёте подобного механизма необходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадобится знать, каков механизм.
Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С, несет нагрузку Р (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показаны на чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной нагрузкой.
Решение. Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N в, численно равной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное перемещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)
Связь между находим из пропорций:
Следовательно,
При применении метода геометрической статики решение оказалось бы более длинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополнительно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученной системы уравнений равновесия).
Задача 170. Горизонтальный брус 1 весом закрепленный в точке А шарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом концом С брус опирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а. Определить, при каком значении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.
Решение. Изображаем действующие на систему силы и силу трения F, включая ее в число активных сил; при этом силу разлагаем на две составляющие, равные каждая и приложенные в точках В и С (обращаем внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможной работы).
Составляя условие равновесия (99) и учитывая формулы (101), получим обозначив
Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, , где . Тогда и окончательно
Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить только одно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.
Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей (см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом и кривошип АВ, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом (рис. 360). На кривошип действует вращающий момент М, а на шестерни 1 и 2 - моменты сопротивлений Найти значения при равновесии механизма.
Оптимальными стратегиями в теории конфликтов считаются такие стратегии, которые приводят игроков к устойчивым равновесиям, т.е. неким ситуациям, удовлетворяющим всех игроков.
Оптимальность решения в теории игр основана на понятии равновесной ситуации :
1) ни одному из игроков не выгодно отклоняться от равновесной ситуации, если все другие остаются в ней,
2) смысл равновесия - при многократном повторении игры, игроки выйдут на ситуацию равновесия, начав игру в любой стратегической ситуации.
В каждом взаимодействии могут существовать следующие виды равновесий:
1. равновесие в осторожных стратегиях . Определяется стратегиями, обеспечивающими игрокам гарантированный результат;
2. равновесие в доминирующих стратегиях .
Доминирующей стратегией называется такой план действий, который обеспечивает участнику максимальный выигрыш вне зависимости от действий другого участника. Поэтому равновесием доминирующих стратегий будет пересечение доминирующих стратегий обоих участников игры.
Если оптимальные стратегии игроков доминируют над всеми остальными их стратегиями, то игра имеет равновесие в доминирующих стратегиях. В игре "дилемма заключенных" равновесным по Нэшу набором стратегий будет ("признавать - признавать"). Причем важно отметить, что как для игрока А, так и для игрока Б "признавать" является доминирующей стратегией, тогда как "не признавать" – доминируемой;
3. равновесие Нэша . Равновесием Нэша называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.
Допустим, - игра n лиц в нормальной форме, где - набор чистых стратегий, а - набор выигрышей.
Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . Причем выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого
Игра может иметь равновесие Нэша и в чистых стратегиях, и в смешанных.
Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии , тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.
В ситуации, равновесной по Нэшу, стратегия каждого игрока обеспечивает ему наилучший отклик на стратегии других игроков;
4. Равновесие Штакельберга . Модель Штакельберга – теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на нее. Основные предпосылки игры:
· отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену;
· в отрасли действует небольшое число фирм;
· фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса;
· существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.
Таким образом, модель Штакельберга используется для нахождения оптимального решения в динамических играх и соответствует максимальному выигрышу игроков, исходя из условий, сложившихся после уже сделанного выбора одним или несколькими игроками. Равновесие по Штакельбергу. - ситуация, когда ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, а решения принимаются сначала одним игроком и становятся известными второму игроку. В игре «дилемма заключенных» равновесие по Штакельбергу будет достигнуто в квадрате (1;1) - "признавать вину" обоими преступниками;
5. оптимальность по Парето - такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других игроков.
Принцип Парето гласит так: «Всякое изменение, которое не приносит убытков, а которое некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением». Таким образом, признаётся право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.
Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством оптимальных альтернатив».
Ситуация, когда достигнута эффективность по Парето - это ситуация, когда все выгоды от обмена исчерпаны.
Эффективность по Парето является одним из центральных понятий для современной экономической науки. На основе этого понятия строятся первая и вторая фундаментальные теоремы благосостояния.
Одним из приложений Парето-оптимальности является Парето-распределение ресурсов (трудовых ресурсов и капитала) при международной экономической интеграции, т.е. экономическом объединении двух и более государств. Интересно, что Парето-распределение до и после международной экономической интеграции было адекватно математически описано (Далимов Р.Т., 2008). Анализ показал, что добавленная стоимость секторов и доходы трудовых ресурсов движутся противонаправленно в соответствии с хорошо известным уравнением теплопроводности аналогично газу или жидкости в пространстве, что дает возможность применить методику анализа, используемую в физике, в отношении экономических задач по миграции экономических параметров.
Оптимум по Парето гласит, что благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.
Парето-оптимальное состояние рынка - ситуация, когда нельзя улучшить положение любого участника экономического процесса, одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.
Согласно критерию Парето (критерию роста общественного благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере одного человека, не нанося ущерба никому другому.
Говорят, что ситуация S* доминирует по Парето ситуацию S, если:
· для любого игрока его выигрыш в S<=S*
· есть хотя бы один игрок, для которого его выигрыш в ситуации S*>S
В задаче "дилемма заключенных" равновесию по Парето, когда улучшить положение ни одного из игроков, не ухудшая при этом положение другого, нельзя, соответствует ситуация квадрата (2;2).
Рассмотрим пример 1 .
Применение принципа возможных перемещений
Принцип возможных перемещений очень эффективен при исследовании равновесия плоских механизмов, т.е. таких, звенья которых движутся в плоскостях, параллельных какой-то неподвижной плоскости. Упрощённо можно считать, что все точки и звенья его движутся по плоскости самого рисунка.
Считая, что все соединения звеньев механизма, как и внешние связи, являются идеальными, мы исключаем из рассмотрения их реакции. Это и определяет преимущества принципа возможных перемещений по сравнению с методами геометрической статики (уравнения равновесия).
Пренебрегая трением, найти соотношение между силами P и Q , при котором кривошипно-ползунный механизм будет находиться в равновесии, если сила перпендикулярна OA (рис. 2.8).
Сообщив механизму возможное перемещение, и приравнивая к нулю сумму работ сил P и Q на этом перемещении, получим
P ×dS В – Q×dS А = 0,
где dS A и dS B – модули возможных перемещений точек А и В .
Перемещение dS A перпендикулярно OA , dS B направлено по прямой OB. Для определения зависимости между dS B и dS A найдём МЦС звена АВ .Он лежит на пересечении перпендикуляров и к направлениям возможных перемещений точек А и В . Эти перемещения находятся в такой же зависимости, как скорости точек А и В , т.е.
Введя обозначения углов j и y , из по теореме синусов находим
Зависимость между возможными перемещениями dS A и dS B можно определить, используя теорему о проекциях скоростей точек A и B на прямую АВ . По этой теореме можно записать:
dS A cos = dS B ×cosy,
Рассмотренную задачу можно было бы решать, применяя методы статики твёрдого тела. Для этого нужно составить уравнения равновесия для каждого звена механизма (кривошипа ОА , шатуна АВ , ползуна В ); при этом пришлось бы принять во внимание неизвестные реакции связей (реакции в шарнирах А и В и реакцию направляющих, в которых движется ползун).
При решении задач подобного рода преимущество принципа возможных перемещений очевидно; этот метод позволяет исключить из рассмотрения неизвестные реакции связей, т.к. эти реакции в условие равновесия системы, выраженное принципом возможных перемещений, не входят.
2.6. Применение принципа возможных перемещений
к определению реакций связей
В формулировке принципа возможных перемещений силы реакции не фигурируют. Тем не менее, принцип возможных перемещений можно эффективно применять для определения этих сил, и чем сложней конструкция, тем больше преимущества принципа возможных перемещений по сравнению с методами, применяемыми в геометрической статике (составление и решение уравнений равновесия).
Статические сооружения (конструкции) имеют нулевую степень подвижности, т.е. находятся в равновесии благодаря наличию внешних и внутренних связей. Связь в виде жесткой заделки, наложенная на тело, ограничивает любые его перемещения, поэтому реакцию представляем в виде двух составляющих, направленных по осям координат, и реактивного момента. Шарнирно-неподвижная опора ограничивает перемещение тела по двум взаимно перпендикулярным направлениям, ее реакцию представляем в виде двух составляющих по осям координат.
Применяя принцип освобождаемости от связей, можно отбросить отдельно взятую связь, ограничивающую перемещение тела в одном направлении, заменив ее силой реакции.
В тех случаях, когда связь препятствует перемещению тела в нескольких направлениях (неподвижная шарнирная опора, жесткая заделка), она заменяется другим типом связи, допускающим перемещение в направлении той реакции, которую хотим определить.
Для определения реактивного момента в жесткой заделке она заменяется неподвижной шарнирной опорой и искомым реактивным моментом (рис. 2.9).
Для определения горизонтальной или вертикальной составляющей реакции жесткой заделки она заменяется связью типа стержень в направляющих и искомой реакцией (рис. 2.10, 2.11).
Таким способом можно последовательно определить реакции всех связей. При этом каждый раз отбрасывается та связь, реакцию которой требуется определить, и механическая система получает одну степень свободы.
В тех случаях, когда связь препятствует перемещению тела в нескольких направлениях (неподвижная шарнирная опора, жёсткая заделка), она отбрасывается не полностью, а лишь заменяется более простой. Как это делается, показано на рис. 2.12.
Покажем варианты замены шарнирно-неподвижной опоры при определении её реакций.
Рассмотрим примеры определения опорных реакций составных
конструкций.
Оптимальными стратегиями в теории конфликтов считаются такие стратегии, которые приводят игроков к устойчивым равновесиям, т.е. неким ситуациям, удовлетворяющим всех игроков.
Оптимальность решения в теории игр основана на понятии равновесной ситуации :
1) ни одному из игроков не выгодно отклоняться от равновесной ситуации, если все другие остаются в ней,
2) смысл равновесия - при многократном повторении игры, игроки выйдут на ситуацию равновесия, начав игру в любой стратегической ситуации.
В каждом взаимодействии могут существовать следующие виды равновесий:
1. равновесие в осторожных стратегиях . Определяется стратегиями, обеспечивающими игрокам гарантированный результат;
2. равновесие в доминирующих стратегиях .
Доминирующей стратегией называется такой план действий, который обеспечивает участнику максимальный выигрыш вне зависимости от действий другого участника. Поэтому равновесием доминирующих стратегий будет пересечение доминирующих стратегий обоих участников игры.
Если оптимальные стратегии игроков доминируют над всеми остальными их стратегиями, то игра имеет равновесие в доминирующих стратегиях. В игре "дилемма заключенных" равновесным по Нэшу набором стратегий будет ("признавать - признавать"). Причем важно отметить, что как для игрока А, так и для игрока Б "признавать" является доминирующей стратегией, тогда как "не признавать" – доминируемой;
3. равновесие Нэша . Равновесием Нэша называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.
Допустим, - игра n лиц в нормальной форме, где - набор чистых стратегий, а - набор выигрышей.
Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . Причем выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого
Игра может иметь равновесие Нэша и в чистых стратегиях, и в смешанных.
Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии , тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.
В ситуации, равновесной по Нэшу, стратегия каждого игрока обеспечивает ему наилучший отклик на стратегии других игроков;
4. Равновесие Штакельберга . Модель Штакельберга – теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на нее. Основные предпосылки игры:
· отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену;
· в отрасли действует небольшое число фирм;
· фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса;
· существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.
Таким образом, модель Штакельберга используется для нахождения оптимального решения в динамических играх и соответствует максимальному выигрышу игроков, исходя из условий, сложившихся после уже сделанного выбора одним или несколькими игроками. Равновесие по Штакельбергу. - ситуация, когда ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, а решения принимаются сначала одним игроком и становятся известными второму игроку. В игре «дилемма заключенных» равновесие по Штакельбергу будет достигнуто в квадрате (1;1) - "признавать вину" обоими преступниками;
5. оптимальность по Парето - такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других игроков.
Принцип Парето гласит так: «Всякое изменение, которое не приносит убытков, а которое некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением». Таким образом, признаётся право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.
Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством оптимальных альтернатив».
Ситуация, когда достигнута эффективность по Парето - это ситуация, когда все выгоды от обмена исчерпаны.
Эффективность по Парето является одним из центральных понятий для современной экономической науки. На основе этого понятия строятся первая и вторая фундаментальные теоремы благосостояния.
Одним из приложений Парето-оптимальности является Парето-распределение ресурсов (трудовых ресурсов и капитала) при международной экономической интеграции, т.е. экономическом объединении двух и более государств. Интересно, что Парето-распределение до и после международной экономической интеграции было адекватно математически описано (Далимов Р.Т., 2008). Анализ показал, что добавленная стоимость секторов и доходы трудовых ресурсов движутся противонаправленно в соответствии с хорошо известным уравнением теплопроводности аналогично газу или жидкости в пространстве, что дает возможность применить методику анализа, используемую в физике, в отношении экономических задач по миграции экономических параметров.
Оптимум по Парето гласит, что благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.
Парето-оптимальное состояние рынка - ситуация, когда нельзя улучшить положение любого участника экономического процесса, одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.
Согласно критерию Парето (критерию роста общественного благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере одного человека, не нанося ущерба никому другому.
Говорят, что ситуация S* доминирует по Парето ситуацию S, если:
· для любого игрока его выигрыш в S<=S*
· есть хотя бы один игрок, для которого его выигрыш в ситуации S*>S
В задаче "дилемма заключенных" равновесию по Парето, когда улучшить положение ни одного из игроков, не ухудшая при этом положение другого, нельзя, соответствует ситуация квадрата (2;2).
Рассмотрим пример 1 :
Равновесия в доминирующих стратегиях нет.
Равновесие по Нэшу . (5,5) и (4,4). Так как ни одному из игроков невыгодно по отдельности отклоняться от выбранной стратегии.
Оптимум по Парето . (5,5). Так как выигрыш игроков при выборе этих стратегий больше выигрышей при выборе других стратегий.
Равновесие Штакельберга :
Первый ход делает игрок А.
Выбирает свою первую стратегию. Б выбирает первую стратегию. А получает 5.
Выбирает свою вторую стратегию. Б выбирает вторую. А получает 4.
5 > 4 =>
Первый ход делает Б.
Выбирает свою первую стратегию. А выбирает первую стратегию. Б получает 5.
Выбирает свою вторую стратегию. А выбирает вторую. Б получает 4.
5 > 4 => равновесие по Штакельбергу (5, 5)
Пример 2. Моделирование дуополии .
Рассмотрим существо этой модели:
пусть существует отрасль с двумя фирмами, одна из которых «фирма-лидер», другая - «фирма-последователь». Пусть цена на продукцию является линейной функцией общего объема предложения Q :
P (Q ) = a − bQ .
Предположим также, что издержки фирм на единицу продукции постоянны и равны с 1 и с 2 соответственно. Тогда прибыль первой фирмы будет определяться формулой
Π 1 = P (Q 1 + Q 2) * Q 1 − c 1 Q 1 ,
а прибыль второй соответственно
Π 2 = P (Q 1 + Q 2) * Q 2 − c 2 Q 2 .
В соответствии с моделью Штакельберга, первая фирма - фирма-лидер - на первом шаге назначает свой выпуск Q 1 . После этого вторая фирма - фирма-последователь - анализируя действия фирмы-лидера определяет свой выпуск Q 2 . Целью обеих фирм является максимизация своих платёжных функций.
Равновесие Нэша в этой игре определяется методом обратной индукции. Рассмотрим предпоследний этап игры - ход второй фирмы. На этом этапе фирма 2 знает объем оптимального выпуска продукции первой фирмой Q 1 * . Тогда задача определения оптимального выпуска Q 2 * сводится к решению задачи нахождения точки максимума платёжной функции второй фирмы. Максимизируя функцию Π 2 по переменной Q 2 , считая Q 1 заданным, находим, что оптимальный выпуск второй фирмы
Это наилучший ответ фирмы-последователя на выбор фирмой-лидером выпуска Q 1 * . Фирма-лидер может максимизировать свою платёжную функцию, учитывая вид функции Q 2 * . Точка максимума функции Π 1 по переменной Q 1 при подстановке Q 2 * будет
Подставляя это в выражение для Q 2 * , получим
Таким образом, в равновесии фирма-лидер производит в два раза большее количество продукции, нежели фирма-последователь.
Совмещая в едином графике линии спроса и предложения, получаем графическое изображение равновесия в координатах Р, Q (рис. 2.6). Точка пересечения линий имеет координаты (Р * , Q*), где р* - равновесная цена, Q * - равновесный объем производства и потребления.
Рыночное равновесие - это такое состояние рынка, при котором для данного уровня цены объем спроса равен объему предложения.
Лишь в точке равновесия Е рынок сбалансирован, ни у кого из рыночных агентов нет стимулов к изменению ситуации. Это означает, что рыночное равновесие обладает свойством устойчивости - в случае возникновения неравновесного состояния рыночные агенты мотивированы к возвращению рынка в равновесие. Для доказательства устойчивости обычно применяют логику Л. Вальраса или А. Маршалла.
По Л. Вальрасу, при слишком высоких ценах возникает избыток предложения - перепроизводство (отрезок А-В на рис. 2.6я), такой рынок называется рынком покупателя, так как покупатель имеет возможность при заключении сделок требовать снижения цен. В такой ситуации не заинтересован прежде всего продавец, который вынужден снижать цены и сокращать объемы производства. По мере снижения цен объем спроса увеличивается, отрезок А- В сокращается, пока не становится точкой равновесия Е.
При низких ценах возникает избыток спроса - дефицит (отрезок CFna рис. 2.6а), складывается рынок продавца. Покупатель вынуж-
ден сокращать потребление и переплачивать за дефицитный товар, вслед за повышением цены растет объем предложения, дефицит сокращается, пока рынок не приходит в равновесие.
По А. Маршаллу (рис. 2.66), при малых объемах производства цена спроса превышает цену продавца, при больших объемах - наоборот. В любом случае ситуация дисбаланса стимулирует смещение цены или объема спроса и предложения в сторону равновесия. Равновесие (а) по Вальрасу - цена регулирует дисбаланс объемов спроса и предложения, (б) по Маршаллу - изменением объемов уравновешиваются цены покупателя и продавца.
Рис. 2.6. Установление рыночного равновесия: в) по Л. Вальрасу; б) по А. Маршаллу
Изменение рыночного спроса или предложения приводит к изменению равновесия (рис. 2.7). Если, например, рыночный спрос растет, то линия спроса сдвигается вправо, тогда равновесная цена и объем растут. Если рыночное предложение уменьшается, линия предложения сдвигается влево, что приводит к увеличению цены и сокращению объемов.
Данная модель рынка является статической, так как в ней не фигурирует время.
«Паутинообразная» модель
В качестве примера динамической модели рыночного равновесия приведем простейшую «паутинообразную» модель. Предположим, объем спроса зависит от уровня цен текущего периода t, а объем предложения - от цен предыдущего периода t-1:
Q d i = Q d i (P t) , Q s i = Q s i (P t -1) ,
где t = 0,1….T- дискретное значение временного периода.
Рис. 2.7. Изменение рыночного равновесия:
а) вследствие увеличения спроса; б) вследствие уменьшения
предложения
Рыночная цена P t может не совпадать с равновесной ценой р*, причем возможны три варианта динамики P t (рис. 2.8).
Вариант траектории развития в данной модели зависит от соотношения наклонов линий спроса и предложения.
Рис. 2.8. «Паутинообразная» модель рыночного равновесия:
а) отклонение от равновесия уменьшается; 5) отклонение
от равновесия увеличивается (модель «катастрофы»); в) рынок
циклически колеблется вокруг точки равновесия, но равновесие
Загрузка...