Идеальной физической моделью заряда в электростатике является точечный заряд.

Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел или до рассматриваемой точки поля. Иными словами, точечный заряд - это материальная точка, которая имеет электрический заряд.

Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела.

Выделим внутри заряженного тела малый объем и обозначим через электрический заряд, находящийся в этом объеме. Предел отношения , когда объем неограниченно уменьшается, называют объемной плотностью электрического заряда в данной точке . Обозначают ее буквой :

Единицей объемной плотности заряда в СИ является кулон на кубический метр (Кл/м 3).

В случае неравномерно заряженного тела плотность различна в разных точках. Распределение заряда в объеме тела задано, если известно как функция координат.

В металлических телах заряды распределяются только внутри тонкого слоя, прилегающего к поверхности. В этом случае удобно пользоваться поверхностной плотностью заряда , которая представляет собой предел отношения заряда к площади поверхности, по которой распределен этот заряд:

где - заряд, находящийся на участке поверхности площадью .

Следовательно, поверхностная плотность заряда измеряется зарядом, приходящимся на единицу поверхности тела. Распределение зарядов по поверхности описывается зависимостью поверхностной плотности (x, y, z) от координат точек поверхности.

Единицей поверхностной плотности заряда в СИ является кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

В том случае, если заряженное тело по форме представляет собой нить (диаметр поперечного сечения тела много меньше его длины , удобно использовать линейную плотность заряда

где - заряд, находящийся на длине тела.

Единицей линейной плотности заряда в СИ является кулон на метр (Кл/м).

Если известно распределение зарядов внутри тела, то можно вычислить напряженность электростатического поля, создаваемого этим телом. Для этого заряженное тело мысленно разбивают на бесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность поля, создаваемую отдельными частями тела. Суммарную напряженность поля находят затем суммированием полей, создаваемых отдельными частями тела, т.е.

Проводники это тела, в которых электрические заряды способны перемещаться под действием как угодно слабого электростатического поля.

Вследствие этого сообщенный проводнику заряд будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю.

Таким образом, напряженность электрического поля внутри проводника должна быть равной нулю.

Так как , то , φ=const

Потенциал внутри проводника должен быть постоянен.

2.) На поверхности заряженного проводника вектор напряженности Е должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей, касательной к поверхности (Е t). заряды перемещались бы по поверхности проводника.

Таким образом, при условии статического распределения зарядов напряженность на поверхности

где E n -нормальная составляющая напряженности.

Отсюда следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

3. В заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника.

Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый внутренний объём проводника. Согласно теореме Гаусса, суммарный заряд этого объёма равен:

Таким образом, в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет. Поэтому если мы удалим вещество из некоторого объёма, взятого внутри проводника, то это никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На внутренней поверхности избыточные заряды располагаться не могут. Это следует также из того, что одноимённые заряды отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Исследуя величину напряжённости электрического поля вблизи поверхности заряженных тел различной формы можно судить и о распределении зарядов по поверхности.

Исследования показали, что плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растёт с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости).Особенно велика бывает плотность на остриях. Напряженность поля вблизи остриёв может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул окружающего газа. При этом заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия.

Если поместить на внутреннюю поверхность полого проводника электрический заряд, то этот заряд перейдёт на наружную поверхность проводника, повышая потенциал последнего. Многократно повторяя передачу полому проводнику можно значительно повысить его потенциал до величины, ограничиваемой явлением стекания зарядов с проводника. Этот принцип был использован Ван-дер-Граафом для построения электростатического генератора. В этом устройстве заряд от электростатической машины передаётся бесконечной непроводящей ленте, переносящий его внутрь большой металлической сферы. Там заряд снимается и переходит на наружную поверхность проводника, таким образом, удаётся постепенно сообщить сфере очень большой заряд и достигнуть разности потенциалов в несколько миллионов вольт.

Проводники во внешнем электрическом поле.

В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды, принесённые извне, но и заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны и ионы). Поэтому при помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды будут перемещаться к его поверхности, положительные по полю, а отрицательные против поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Это явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электростатическом поле путём разделения на этом проводнике уже имеющихся в нём в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов называется электризацией через влияние или электростатической индукцией .

Перемещение зарядов в проводнике помещённом во внешнее электрическое поле Е 0 будет происходить до тех пор, пока создаваемое индукционными зарядами дополнительное поле Е доп не скомпенсирует внешнее поле Е 0 во всех точках внутри проводника и результирующее поле Е внутри проводника станет равным нулю.

Суммарное поле Е вблизи проводника будет заметно отличаться от своего первоначального значения Е 0 . Линии Е будут перпендикулярны к поверхности проводника и будут частично кончаться на индуцированных отрицательных зарядах и вновь начинаться на индуцированных положительных зарядах.

Индуцированные на проводнике заряды исчезают, когда проводник удаляют из электрического поля. Если предварительно отвести индуцированные заряды одного знака на другой проводник (например в землю) и отключить последний, то первый проводник останется заряженным электричеством противоположного знака.

Отсутствие поля внутри проводника, помещённого в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранировки) разных электрических приборов и проводов. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим футляром (экраном). Подобный экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а в виде густой сетки.

Он будет находиться в пол-ной безопасности внутри металличес-кой кабины, если не будет пытаться из нее выйти, пока внешняя ее часть не будет разряжена или не обесточе-на сеть. Пассажиры самолета нахо-дятся в безопасности, когда в него ударяет молния, потому что заряд проводится вокруг внешней части фю-зеляжа в низлежащую атмосферу. Были проделаны опыты, в ходе ко-торых к крыше автомобиля, проез-жающего мимо высоковольтного ге-нератора, прилагался потенциал 1 млн. В. Несмотря на громадный заряд между генератором и автомобилем, водитель мог повторно продемонстрировать опыт без какого-либо ущерба и для себя, и для автомобиля. Эти экспе-рименты показывают, что заряд рас-полагается на внешней поверхности проводника.


Примечание.

Это относится в рав-ной степени и к полым, и к монолит-ным проводникам, и, конечно, к изо-ляторам.

Если некоторый отрицательный за-ряд помещен на металлическую сфе-ру, находящуюся на изолирующей подставке, как на рисунке 1, а, то отрицательные заряды взаимооттал- киваются и перемещаются через ме-талл. Электроны распределяются, по-ка каждая точка на сфере не под-нимается до одинакового отрицатель-ного потенциала; перераспределение заряда затем прекращается. Все точ-ки заряженной сферы должны иметь одинаковый потенциал, поскольку ес-ли бы этого не произошло, то между различными точками на проводнике должна была бы существовать раз-ность потенциалов. Это бы вызывало движение зарядов, до тех пор покуда потенциалы не уравнялись бы. Заря-женный проводник вне зависимости от его формы должен, таким образом, иметь одинаковый потенциал во всех точках как на, так и внутри его по-верхности. Проводник цилиндричес-кой формы на рисунке 1, б имеет постоянный положительный потенци-ал во всех точках его поверхности. Точно так же отрицательно заря-женный проводник грушевидной фор-мы на рисунке 1, в имеет постоянный отрицательный потенциал но всей его поверхности. Итак, заряд распре-деляется таким образом, что потен-циал является однородным по всему проводнику. На телах правильной формы, такой, как сфера, распреде-ление заряда будет равномерным или однородным. На телах же неправильной формы, таких, какие показаны на рисунке 1, б и в, нет рав-номерного распределения заряда по их поверхности. Заряд, который на-капливается в любой данной точке на поверхности, зависит от кривизны поверхности в этой точке. Чем боль-ше кривизна, т. е. чем меньше ради-ус, тем больше заряд. Таким обра-зом, большая концентрация заряда присутствует на «заостренном» конце грушеобразного проводника, чтобы поддерживать во всех точках по-верхности одинаковый потенциал.


Подобные же эксперименты могут быть проведены для проверки распре-деления заряда по поверхностям проводников различной формы. Вы долж-ны обнаружить, что заряженная сфе-ра имеет однородное распределение заряда по своей поверхности.

Если вы присоедините тонко за-остренный проводник к высоковольт-ной электропередаче, т. е. вставите его в свод генератора Ван-де-Граафа, то вы сможете ощутить «электричес-кий ветер», держа руку в нескольких сантиметрах от заостренного конца проводника, как на рисунке 2, а. Высокая концентрация положитель-ного заряда на острие проводника бу-дет притягивать отрицательные заря-ды (электроны) до тех пор, пока за-ряд не нейтрализуется. В то же время положительные ионы в воздухе оттал-киваются положительным зарядом на острие. Среди молекул воздуха в ком-нате всегда присутствуют положи-тельные ионы (молекулы газов, из ко-торых состоит воздух, потерявшие один-два электрона) и некоторое чис-ло отрицательных ионов («потерян-ные» электроны). На рисунке 2, б показано движение заряда в воздухе, т. е. положительно заряженные ионы, отталкиваемые от положительно за-ряженного острого проводника, и от-рицательно заряженные ионы, притя-гиваемые к нему. Притяжение отрицательных зарядов (электронов) к по-ложительно заряженному острию ней-трализует положительные заряды на острие и, следовательно, понижает его положительный потенциал. Та-ким образом, заряженный проводник разряжается путем, известным как разряд — стекание заряда с острия. Положительные заряды, которые устремляются прочь от точечного проводника,— это положительные ио-ны (почти молекулы воздуха), и имен-но это создает движение воздуха, или «ветер».

Примечание.

Этот процесс непре-рывен, потому что к куполу генера-тора Ван-де-Граафа постоянно до-бавляется заряд от генератора. Это объяснение показывает, что заострен-ный проводник очень хорошо подхо-дит для собирания заряда, так же как и для поддержания большой кон-центрации заряда.

Громоотвод

Важным применением стекания заряда с острия является громоотвод. Движение облаков в атмосфере может образовывать на облаке громадный статический заряд. Это возрастание заряда может быть столь велико, что разность потенциалов между облаком и землей (нулевым потенциалом) ста-новится достаточно большой для то-го, чтобы преодолеть изолирующие свойства воздуха. Когда это проис-ходит, то воздух становится проводя-щим и заряд течет к земле в виде вспышки молнии, ударяя в ближай-шие или наиболее высокие здания или же в присутствующие объекты, т. е. заряд выбирает кратчайший путь к земле. Никогда не укрывайтесь под деревьями во время грозы: молния может ударить в дерево и ранить или убить вас, когда она устремляется вниз по дереву к земле. Лучше всего стать на колени на открытом месте, как можно ниже опустив голову и положив руки на колени, направив их пальцами к земле. Если молния и уда-рит в вас, то она должна ударить в ваши плечи, пройти вниз по вашим рукам и из ваших пальцев в землю. Таким образом, это положение защи-щает вашу голову и жизненно важ-ные органы, такие, как сердце.

Если вспышка молнии ударила бы в здание, то мог бы быть нанесен большой ущерб. Громоотвод же мо-жет предохранить здание от этого. Громоотвод состоит из некоторого числа заостренных проводников, ук-репленных на высокой точке здания и соединенных с толстой медной про-волокой, которая проходит по одной из стен вниз и оканчивается на ме-таллической пластине, закопанной в земле. Когда положительно заряжен-ное облако проходит над зданием, происходит разделение равных и про-тивоположных по знаку зарядов в медной проволоке при высокой кон-центрации отрицательных зарядов на остриях проводников и положитель-ном заряде, который стремится акку-мулироваться на металлической плас-тине. Земля, однако, имеет громадный запас отрицательного заряда, и поэ-тому, как только образуется положи-тельный заряд на пластине, он немедленно нейтрализуется отрицательны-ми зарядами (электронами), исходя-щими из земли. Электроны также при-тягиваются из земли вверх к за-остренным концам проводника под воздействием положительного потен-циала на облаке. На остриях может сконцентрироваться очень высокий электрический заряд, и это способ-ствует уменьшению положительного потенциала облака, тем самым умень-шая для него возможность преодо-леть изолирующие свойства воздуха. Заряженные ионы воздуха также дви-жутся в «электрическом ветре»; от-рицательные заряды (электроны) от-талкиваются остриями и притягиваются облаком, также помогая пони-зить положительный его потенциал, т. е. разрядить облако. Положитель-ные ионы воздуха притягиваются по-ложительно заряженными заострен-ными проводниками, но громадные запасы отрицательного заряда в зем-ле могут предоставить неограничен-ный отрицательный заряд остриям, чтобы нейтрализовать их. Если мол-ния и ударит в проводник, то она пошлет свой электрический заряд че-рез проводник и «безопасно» в землю.

Одной из общих задач электростатики является определение электрического поля или потенциала для заданного поверхностного распределения зарядов. Теорема Гаусса (1.11) позволяет сразу написать некоторое частное соотношение для электрического поля. Если на поверхности S с единичной нормалью заряд распределен с поверхностной плотностью , а электрическое поле по обе стороны поверхности равно соответственно (фиг. 1.4), то, согласно теореме Гаусса,

Это соотношение еще не определяет самих полей исключение составляют лишь те случаи, когда нет других источников поля, кроме поверхностных зарядов с плотностью а распределение имеет особо простой вид. Соотношение (1.22) показывает только, что при переходе с «внутренней» стороны поверхности, на которой расположен поверхностный заряд а, на «внешнюю» сторону нормальная составляющая электрического поля испытывает скачок

Используя соотношение (1.21) для линейного интеграла от Е по замкнутому контуру, можно показать, что тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна при переходе через поверхность.

Фиг. 1.4. Скачок нормальной составляющей электрического поля при пересечении поверхностного распределения зарядов.

Общее выражение для потенциала, создаваемого поверхностным распределением заряда в произвольной точке пространства (в том числе на самой поверхности S, на которой расположены заряды), можно найти из (1.17), заменяя на

Выражение для электрического поля может быть получено отсюда дифференцированием.

Представляет интерес также задача о потенциале, создаваемом двойным слоем, т. е. распределением диполей по поверхности

Фиг. 1.5. Предельный переход при образовании двойного слоя.

Двойной слой можно представить себе следующим образом: пусть на поверхности S заряд расположен с некоторой плотностью , а на поверхности S, близкой к S, поверхностная плотность в соответствующих (соседних) точках составляет , т. е. равна по величине и противоположна по знаку (фиг. 1.5). Двойной слой, т. е. дипольное распределение с моментом единицы поверхности

получится как предельный переход, при котором S бесконечно близко приближается к S, а поверхностная плртность стремится к бесконечности так, что произведение на расстояние между в соответствующей точке стремится к пределу

Дипольный момент слоя перпендикулярен поверхности S и направлен от отрицательного заряда к положительному.

Чтобы найти потенциал, создаваемый двойным слоем, можно сначала рассмотреть отдельный диполь, а затем перейти к распределению диполей по поверхности. К тому же результату можно прийти, если исходить из потенциала (1.23) для поверхностного распределения заряда, а затем произвести описанный выше предельный переход. Первый способ расчета, пожалуй, проще, но зато второй является полезным упражнением в векторном анализе, так что мы предпочтем здесь именно второй.

Фиг. 1.6. Геометрия двойного слоя.

Пусть единичный вектор нормали направлен от S к S (фиг. 1.6). Тогда потенциал, обусловленный двумя близкими поверхностями S и S, равен

При малых d мы можем разложить выражение в ряд. Рассмотрим общее выражение в котором При этом

Очевидно, это просто разложение в ряд Тейлора в трехмерном случае. Таким образом, переходя к пределу (1.24), получаем для потенциала выражение

Соотношение (1.25) может быть очень просто истолковано геометрически. Заметим, что

где - элемент телесного угла, под которым из точки наблюдения виден элемент площади (фиг. 1.7). Величина положительна, если угол острый, т. е. из точки наблюдения видна «внутренняя» сторона двойного слоя.

Фиг. 1.7. К выводу потенциала двойного слоя. Потенциал в точке Р, создаваемый элементом площади двойного слоя с моментом единицы поверхности D, равен взятому с обратным знаком произведению момента D на телесный угол под которым виден элемент площади из точки Р.

Выражение для потенциала двойного слоя может быть записано в виде

Если поверхностная плотность дипольного момента D постоянна, то потенциал просто равен взятому с обратным знаком произведению дипольного момента на телесный угол, под которым из точки наблюдения видна вся поверхность независимо от ее формы.

При пересечении двойного слоя потенциал претерпевает скачок, равный поверхностной плотности дипольного момента, умноженной на . В этом легко убедиться, если рассмотреть точку наблюдения, приближающуюся бесконечно близко к поверхности S с внутренней стороны. Тогда, согласно (1.26), потенциал на внутренней

стороне будет равен

так как почти весь телесный угол опирается на малый участок поверхности S вблизи точки наблюдения. Аналогично если приближаться к поверхности S с внешней стороны, то потенциал становится равным

знак меняется на обратный из-за изменения знака телесного угла. Таким образом, скачок потенциала при пересечении двойного слоя равен

Это соотношение является аналогом формулы (1.22) для скачка нормальной составляющей электрического поля при пересечении «простого» слоя, т. е. поверхностного распределения заряда. Соотношение (1.27) можно физически интерпретировать как падение потенциала «внутри» двойного слоя. Это падение потенциала может быть вычислено (до перехода к пределу) как произведение напряженности поля между обоими слоями, несущими поверхностный заряд, на расстояние между ними.

Проводниками называют тела с высокой концентрацией свободных заряженных частиц, способных перемещаться под действием электрического поля. Если сообщить проводнику некоторый избыточный заряд, то составляющие его свободные заряженные частицы будут перемещаться (положительные - в область с меньшим потенциалом, отрицательные - наоборот) до тех пор, пока потенциалы во всех точках проводника не станут одинаковыми. При этом достигается состояние, когда внутри проводника напряженность равна нулю, а на поверхности векторы напряженности перпендикулярны к ней. Если выбрать внутри проводника замкнутую поверхность S , которая очень близка к поверхности проводника (рис. 37.1), то в соответствии с теоремой Гаусса поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен нулю. Это означает, что внутри нее заряд отсутствует и весь избыточный заряд распределяется по внешней поверхности проводника. Выясним, от чего зависит поверхностная плотность заряда.

Для этого рассмотрим два металлических шарика, соединенных тонкой проволокой (рис. 37.2). Шарики и проволока составляют единый проводник и потому потенциалы их одинаковы во всех точках. Потенциал первого шарика равен , площадь его поверхности . Выразим заряд и поверхностную плотность заряда на поверхности этого шарика:

; .

Аналогичные выражения получаются для второго шарика:

; .

Разделив выражения для плотностей заряда, находим

Заряд, сообщенный проводнику, распределяется по внешней поверхности проводника, при этом поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу поверхности.

Величина, обратная радиусу поверхности в данной ее точке,называетсякривизной поверхности. Там, где меньше радиус, кривизна поверхности больше, и наоборот. У выступов и заострений кривизна поверхности максимальна, согласно выражению (37.1) там будет максимальна и поверхностная плотность заряда.

Таким образом, приходим к заключению:

Все точки внутри и на поверхности заряженного проводника имеют одинаковый потенциал,